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댓글 8
익명
2025-07-17 20:42:03
대수적으로 일반해를 구하는 건 매우 어렵고, 사실상 불가능합니다.
그 이유는:
1. 식이 비선형이고 대칭이지만, 유리함수의 합 형태
각 항은
𝑎
𝑏
+
𝑐
b+c
a
처럼 a, b, c가 서로 섞여 있는 비선형 유리함수
합이 일정한 상수(4)가 되는 조건을 만족하는 삼변수 유리식의 해 공간은 일반적으로 폐쇄된 대수적 구조로 기술 불가
2. 삼변수 대칭 함수 구조지만 단순화 불가능
식은 대칭이긴 하지만, 단순한 치환(예:
𝑥
=
𝑎
/
(
𝑏
+
𝑐
)
x=a/(b+c))으로 구조를 선형화하거나 정규화할 수 없습니다.
균형잡힌 등식이 아니고 강한 비대칭 구조를 가짐
게다가, 이 식은 **보통 수치적 풀이(numerical method)**나 그래프 해석으로 접근해야 합니다
3. 정해진 값 4는 상한이 아님 → 특수한 경우만 존재
이 형태의 식에 대해 다음 부등식이 잘 알려져 있음:
𝑎
𝑏
+
𝑐
+
𝑏
𝑎
+
𝑐
+
𝑐
𝑎
+
𝑏
≥
3
2
(Nesbitt’s inequality)
b+c
a
+
a+c
b
+
a+b
c
≥
2
3
(Nesbitt’s inequality)
→ 보통 이 값은 최소값 3/2, 최대값은 이론적으로 무한대로 커질 수 있음, 하지만
정확히 4가 되게 하는 정수해나 단순한 유리수해는 존재하지 않습니다
🔍 그럼에도 접근할 수 있는 방법
📌 대칭 치환을 시도해보기
예:
𝑥
=
𝑎
𝑏
+
𝑐
,
𝑦
=
𝑏
𝑎
+
𝑐
,
𝑧
=
𝑐
𝑎
+
𝑏
x=
b+c
a
, y=
a+c
b
, z=
a+b
c
그러면
𝑥
+
𝑦
+
𝑧
=
4
x+y+z=4,
이때
𝑥
(
𝑦
𝑧
+
1
)
=
𝑦
(
𝑥
𝑧
+
1
)
=
𝑧
(
𝑥
𝑦
+
1
)
x(yz+1)=y(xz+1)=z(xy+1) 같은 구조를 만족하는지 관찰
→ 이런 접근도 대수적으로 해를 찾기보단 조건 간 관계를 해석하는 수준
✅ 결론
이 식은 일반 대수적 기법으로 유한단계 해석이 거의 불가능하며,
정확한 해를 구하려면 수치적 해법 또는 그래프 기반 방법이 필요합니다.
즉, 이 문제는 대수적 풀이 대상이 아닌 해석적·수치적 문제에 가깝습니다.
단 하나의 해(a, b, c)를 원한다면, 하나의 변수를 고정하고 수치적으로 나머지를 찾는 방법이 실질적인 접근입니다. :
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